bdkhuong
Búa Đá
VI TÍCH PHÂN / NGÔN NGỮ CỦA SỰ CHUYỂN ĐỘNG!
Trước đây học toán ở phổ thông chắc hẳn bạn từng nghĩ cái vi tích phân để làm cái gì thế nhỉ ? Bạn chỉ biết lúc đó cần làm bài tập.
Trong thực tế , Vi tích phân là một trong những công cụ quan trọng nhất của toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
1. Tính diện tích và thể tích hình học: Vi tích phân được sử dụng để tính toán diện tích và thể tích của các hình học phức tạp như hình cầu, hình trụ, hình nón, hình chóp, v.v.
2. Tính toán vật lý: Nhiều bài tập vật lý sử dụng vi tích phân để tính toán các giá trị quan trọng như quãng đường, vận tốc, gia tốc và lực. Ví dụ như việc tính vận tốc của vật rơi tự do theo thời gian hoặc tính quãng đường mà một vật di chuyển trong không gian.
3. Tính toán xác suất: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị xác suất trong các phân phối xác suất khác nhau.
4. Tính toán trong kinh tế: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của các biến trong kinh tế.
5. Tính toán trong máy tính: Vi tích phân được sử dụng để tính toán các giá trị số trong các thuật toán và phần mềm máy tính khác nhau.
6. Các ứng dụng khác: Vi tích phân còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, hóa học, kỹ thuật, vật liệu, v.v. Vi tích phân giúp chúng ta hiểu và giải quyết các vấn đề phức tạp trong các lĩnh vực này.
Đọc hết bài viết thấy vi tích phân có ý nghĩa thế nào với cuộc sống của chúng ta.
Sự vận hành vĩ đại của vũ trụ chỉ giao tiếp với nhân loại thông qua ngôn ngữ của toán học.
một trong những công cụ mạnh mẽ nhất mà con người từng phát minh ra trong toán học, còn được biết đến là (Vi Tích Phân) Calculus, hay Giải Tích cho ngắn gọn.
Trong bài viết này, mình sẽ hướng dẫn cho các bạn cách để áp dụng vi tích phân, nhưng không phải dạy các bạn vi tích phân theo định nghĩa toán học thuần túy, mà sẽ dạy các bạn vi tích phân theo ngôn ngữ trực quan của vật lý và chuyển động.
bạn đừng lo cách hình dung sau đây là không xứng đáng nhé.
bởi vì vi tích phân là ngôn ngữ của chuyển động và được áp dụng trong vật lý rất nhiều, như sự hao hụt khối lượng của tên lửa, độ dài đường bay của một quả bóng tennis, thời gian rơi của một vật thể dưới tác động của trọng lực, hành vi của điện tích dưới tác động của điện trường, hay thậm chí là bức xạ Hawking, đều không thể tính toán được hoặc sẽ gần như không thể tính được một cách dễ dàng, nếu vi tích phân chưa được tìm ra!
Còn trong toán học vi tích phân có thể dùng để tính diện tích của các hình rất phức tạp, ví dụ như hình Elip.
Lịch sử : Vi Tích Phân được sáng tạo độc lập bởi hai nhà khoa học vĩ đại nổi tiếng Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.
sau này vào thế kỷ 18 đến thế kỷ 19, vi tích phân không chỉ dừng lại ở biến số mà đã được phát triển với mục đích phục vụ cho vật lý học, bao gồm vi tích phân vector (vector calculus), vi tích phân tensor (tensor calculus), (hình học vi phân) differential geometry, (topology)
nhưng nguyên lý cơ bản chung của vi tích phân vẫn không thay đổi.
Lưu ý : bài viết này không hướng dẫn cách để tính toán các tích phân và đạo hàm, bởi vì mỗi hàm có một cách tính khác nhau và không có cách tính chung.
Cách tính thì nhà trường sẽ dạy hoặc bạn có thể tìm kiếm các video dạy giải tích trên mạng cũng có rất nhiều.
Hoặc nếu không phải để làm bài tập, các bạn cũng có thể tính chúng bằng cách tìm kiếm các máy tính online trên internet và các website như wolframalpha rất phổ biến.
Mục đích của bài viết này là để mang đến cho các bạn đọc giả ý nghĩa từ khái niệm của vi tích phân, từ đó cho các bạn một cái nhìn sâu sắc về bản chất của chúng, từ đó giúp chúng ta dễ dàng áp dụng chúng vào vật lý, cơ học hoặc hình học.
hàm số f(x) có thể có bất kỳ cách sắp đặt nào, ví dụ như
f(x) = (1-x)² , f(x) = sqrt(x²+1) , f(x) = tanh(x) - tan(x) , tất cả đều không thành vấn đề.
cấu trúc của biểu thức không hề quan trọng,
miễn chúng ta biết rằng trạng thái toán học được xem xét ở đây phụ thuộc vào biến x, là chúng ta có thể cho rằng, đây là những hàm số của x.
Tuy nhiên hãy nghĩ theo ý nghĩa vật lý, khi học vật lý thì chúng ta có công thức đúng không nào?
ví dụ F = ma, E=mc² , S = (S₀+ 1/2 gt²) , V = kQ/r , tất cả những công thức này đều có thể gọi là hàm số.
để cho ví dụ đơn giản hơn, hãy nghĩ về chỉ số BMI, chính là chỉ số cân đối của chiều cao và cân nặng, và công thức tính BMI được quy ước như sau.
BMI = khối lượng/(chiều cao)²
giả sử bây giờ bạn đang ở trong một căn phòng bao gồm 7 người có khối lượng bằng nhau, giả sử tất cả đều là 70 kg, nhưng họ mang chỉ số BMI khác nhau.
như vậy lúc này ta có thể kết luận lý do mà chỉ số BMI của 7 người này không giống nhau, là do phần mẫu của công thức, chính là phần (chiều cao), không giống nhau.
trong trường hợp của 7 người này chúng ta có thể nói BMI là một hàm của chiều cao và có thể gọi là f(chiều cao), hay BMI(chiều cao) luôn.
cũng từ đó chúng ta có thể gọi f(x) là y(x) nếu hàm đó tên là y,
chúng ta không viết ký hiệu "f" của hàm nữa mà thay nó bằng tên của hàm luôn.
ví dụ tiếp theo ta có công thức nổi tiếng của Albert Einstein,
E=mc² .
trong công thức này, chúng ta biết "c" là một hằng số vũ trụ, nó không bao giờ thay đổi, vì vậy ta không cần xem xét sự thay đổi của nó, do đó hàm số là E(m), bởi vì E chỉ phụ thuộc vào khối lượng m, thay đổi khối lượng, và ta thay đổi năng lượng.
chúng ta có thể viết công thức trên ám chỉ tính phụ thuộc vào khối lượng bằng cách viết E(m) = mc²
BMI(chiều cao) = khối lượng/(chiều cao)².
y(x) = 1/2 x²
L(t) = kt/2 và ...
nếu trong trường hợp hàm số có chứa hai biến, ví dụ
f = (x² + y²) , và cả hai biến (x,y) đều được xem xét, ví dụ như cả y và x đều thay đổi, thì hàm số sẽ là hàm hai biến f(x,y).
ví dụ hàm số có thể có ký hiệu "z" , z = (x² + y²) , thì gọi đây là
z(x,y) , nhưng tạm thời mình sẽ không bàn về hàm hai biến.
nếu điều kiện chúng ta đang xét là biến y, và giữ x không đổi, thì hàm số sẽ chỉ còn là f(y) thay vì f(x,y), giống như ví dụ BMI lúc nãy, chúng ta không xét sự thay đổi của khối lượng, mà chỉ xét chiều cao.
vì vậy kết luận ở đây là chúng ta có thể nghĩ hàm số là những công thức chúng ta tiếp xúc hằng ngày, với giá trị đầu ra của nó phụ thuộc vào giá trị của biến đầu vào, do đó mọi công thức vật lý nêu trên đều có thể xem là các hàm số.
2. Ý nghĩa của delta :
hãy tưởng tượng bạn nhìn thấy một chiếc xe hơi đang di chuyển ở vận tốc không đổi là U trên một tuyến đường.
trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng công thức tính quãng đường quen thuộc, S = Ut , với trường hợp này bạn đoán ra chứ?
quảng đường "S" là hàm của thời gian "t", bởi vì vận tốc là không đổi nên chúng ta không cần xem xét đến nó.
Tuy nhiên hãy hình dung bạn muốn đo vận tốc của xe ở hai điểm nào đó trên quãng đường S, ví dụ như S₀ và S₁ thì sao?
bạn hãy hình dung S giống như là tọa độ của đường đi còn S₀ và S₁ là hai điểm trên tọa độ đó cho dễ hình dung nhé.
vận tốc của xe khi nó đi từ ( S₀ sang S₁) trong thời gian (t₀ và t₁) là
U = ( S₁ - S₀)/(t₁-t₀) , viết ngắn gọn với ký hiệu Δ, ta có
U = ΔS/Δt
với ký hiệu "Δ" gọi là delta, tức nó là hai điểm bất kỳ trên tọa độ không trùng với điểm mốc.
ví dụ ( S₁ - S₀) = ΔS , S₀ ≠ O , với "O" là tâm của tọa độ.
điều này có nghĩa là công thức "S = Ut" tính quãng đường di chuyển của xe từ điểm mốc của nó, còn nếu chúng ta muốn xét một đoạn bất kỳ, thì phải là ΔS = UΔt, với ΔS là đoạn đường cần xem xét.
delta "Δ" có nghĩa là sự thay đổi, do đó có thể dịch sang ngôn ngữ như sau :
vận tốc là sự thay đổi của vị trí chia cho sự thay đổi của thời gian.
3. Ý nghĩa của đạo hàm (Derivative) :
bây giờ chúng ta hãy hình dung trường hợp thứ hai, chúng ta có một chiếc xe đang di chuyển, nhưng vận tốc của nó thay đổi liên tục, tức là bác tài có thể đang giảm ga hoặc đang tăng ga,
do đó công thức U = ΔS/Δt không còn áp dụng được nữa, vì công thức này cho rằng vận tốc U là hằng số, tức không phụ thuộc vào biến nào cả.
do đó nếu vận tốc U thay đổi theo thời gian, tức là một hàm của thời gian U(t), thì ΔS/Δt chỉ là vận tốc trung bình, và nếu áp dụng công thức ΔS = U Δt thì giá trị của ΔS sẽ không chính xác, do đó không thể áp dụng công thức S = Ut trong trường hợp này.
tuy nhiên chúng ta có thể làm cho giá trị trung bình của vận tốc chính xác hơn bằng cách rút ngắn khoảng cách giữa hai vị trí, (S₀,S₁) , và hai thời điểm (t₀,t₁) nhỏ xuống về 0.
ví dụ ban đầu (S₁ - S₀) = 50 mét, thì thử giảm xuống thành
(S₁ - S₀) = 12 mét, hoặc là (S₁ - S₀) = 2 mét, hoặc là
(S₁ - S₀) = 0.0000000000001 mét, và làm trò tương tự với thời gian (t₀,t₁).
ngay lúc này đây, sau đó chúng ta chia hai vế cho nhau, chúng ta nhận ra rằng, vận tốc chúng ta tính được vô cùng chính xác, bởi vì trong khoảnh khắc vô cùng nhỏ, chiếc xe di chuyển được một quãng đường vô cùng nhỏ, do đó ngay cả khi xe có gia tốc, không có sự khác biệt lắm trong vận tốc của nó, vì nó được ghi nhận trong một khoảng thời gian vô cùng nhỏ, do đó giá trị ΔS/Δt lần này rất chính xác.
Tuy nhiên, vận tốc đó chỉ có giá trị chính xác trong một thời điểm nhất định, thời điểm, ví dụ chúng ta đo đạc ΔS = 0.0000001 mét, và Δt = 0.000000000001 giây.
vậy chuyện gì xảy ra khi ta để hai điểm (S₀,S₁) tiến sát về 0, nhưng không bao giờ chạm đến 0?
chúng ta có một định nghĩa khác cho nó gọi là "d" gọi là vi phân, khác với "Δ", ký hiệu "dS" gọi là vi phân của S.
và tương tự với thời gian, khi hai thời điểm cách nhau tiến về 0, nhưng không bằng 0, gọi là "dt", vi phân của thời gian.
và vận tốc của xe tại một thời điểm nhất định sẽ là
U(t) = dS/dt , với vi phân của S chia cho vi phân của t, ta gọi toàn bộ cái ký hiệu (dS/dt) là đạo hàm, nói lên vận tốc của xe U(t) tại một thời điểm t nhất định.
mà bởi vì (dS/dt) có thể viết thành tích của phép nhân (d/dt)*S, ta gọi "d/dt" là một toán tử đạo hàm.
còn "dS/dt" là một đạo hàm.
và nếu biến trong toán tử là "t", ta gọi "d/dt" là đạo hàm của "t" , hay còn gọi là đạo hàm thời gian của hàm.
tương tự "dy/dx" ta gọi đây là đạo hàm x của hàm y.
ví dụ nếu đạo hàm cho z ta có toán tử là (d/dz).
Các bạn có để ý vận tốc U đã trở thành "U(t)" không?
điều này là bởi vì "U" phải là hàm của "t"
nhưng thế nào là vận tốc dưới dạng hàm của thời gian?
có ví dụ nào thực tế không?
Có!
hãy nghĩ về một vật rơi dưới tác động của trọng trường, ta biết gia tốc trọng trường là g = 9.8 m/s², xét trên bề mặt trái đất, ta có thể giả định rằng "g" không đổi, và cho rằng nó là một hằng số, thì vận tốc của vật rơi sẽ là v(t) = gt , tức là tức tại thời điểm t = 0, tức là lúc vật được buông ra, vận tốc ban đầu là 0 m/s , sau khi vật được buông, ta có vận tốc tức thời là "gt" , ví dụ tại thời điểm t = 1 giây, vận tốc là 9.8 m/s , tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc là 19.6 m/s, tại thời điểm t = 3 giây, vận tốc là 29.4 m/s.
ta gọi đây là vận tốc tức thời, nghĩa là vận tốc tại một thời điểm nhất định, nếu vận tốc là hàm của thời gian.
Lưu ý rằng trên bề mặt trái đất, gia tốc trọng trường "g" không thay đổi nhiều lắm do đó có thể xem "g" là hằng số.
Tuy nhiên nếu xét theo khía cạnh lớn như ngoài không gian trở lại, thì "g" có thể thay đổi đáng kể.
ví dụ khác là ta có một hàm quãng đường S(t) = (vt + 1/2 gt²) , thì đạo hàm của nó sẽ là
dS(t)/dt = (v + gt), đây chính là vận tốc tại một thời điểm "t" nhất định trong hàm
S(t) = (vt + 1/2 gt²).
mà chính là (v+gt) với v là vận tốc ban đầu, còn “gt” là vận tốc tăng dần theo thời gian do trọng trường.
Ví dụ tiếp theo : Ta có một con lắc lò xo dao động với quãng đường
x(t) = x₀ cos(sqrt((k/m)t)
thì vận tốc của lò xo tại một thời điểm nhất định là
dx(t)/dt = -(kx₀sin(sqrt((kt)/m)))/(2m*sqrt((kt)/m))
ngoài đạo hàm thời gian để tính vận tốc, ta còn có thể đạo hàm cho các biến khác, ví dụ như lực hấp dẫn F(r) giữa hai khối lượng (M,m) là F(r) = GMm/r² ,
thì dF(r)/dr = -(2GMm)/r³ .
tuy "dF(r)/dr" là sự thay đổi cường độ của lực "F(r)" trên một đơn vị không gian "r" nếu vật di chuyển trên tọa độ bán kính r, tức là thứ nguyên sẽ là N/m (Newton trên mét).
đạo hàm này cho biết độ lớn trong sự thay đổi của lực chia cho sự thay đổi của vị trí "r" tại một vị trí "r" nhất định.
với "r" là tọa độ bán kính.
ví dụ nếu một phi thuyền bay ra khỏi trái đất ở vận tốc không đổi, và ta muốn tính tốc độ thay đổi của lực hấp dẫn giữa trái đất và phi thuyền, thì ta có thể tính
dF/dr.
độ lớn của dF/dr cho biết lực hấp dẫn thay đổi nhanh cỡ nào tại vị trí r , tức trị tuyệt đối |dF/dr| tỉ lệ thuận với lực thủy triều.
với |dF/dr| càng cao, thì lực thủy triều càng lớn, nguyên nhân là bởi vì lực hấp dẫn thay đổi rất nhanh tại vị trí đó khi ta thay đổi vị trí.
cũng tương tự khi |dF/dr| càng nhỏ, thì lực thủy triều càng bé, do đó nếu bạn lái một phi thuyền đến hố đen vũ trụ, thì việc biết giá trị của dF/dr chắc chắn là một điều cần thiết đấy!
Bạn có biết? trong định luật 2 Newton, công thức chuẩn để tính lực là ΣF = dp/dt không?
với "p" là động lượng.
ví dụ thực tiễn là ánh sáng, vì không có khối lượng nên công thức ΣF = ma không thể áp dụng được cho ánh sáng, tuy nhiên ánh sáng vẫn mang động lượng "p" do đó lực mà ánh sáng tác dụng lên vật chính là tốc độ truyền động lượng (dp/dt) lên vật đó đấy!
vậy chúng ta có thể hiểu đạo hàm như là sự thay đổi vô cùng nhỏ của một hàm chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của biến trong hàm đó.
ngoài ký hiệu df(x)/dx của Leibniz , còn có ký hiệu khác thuận tiện hơn được đặt ra bởi nhà toán học Lagrange, là
f'(x).
tức có thể gọi vận tốc dS(t)/dt là S'(t), như vậy sẽ gọn hơn rất nhiều.
tuy nhiên đối với các bạn mới làm quen với khái niệm này, nên sử dụng df(x)/dx thay vì f'(x) để có bức tranh ý nghĩa hơn, vì mình thấy df(x)/dx giống ký hiệu delta "Δ" quen thuộc mà chúng ta đã làm quen trong suốt một chặng đường trung học cơ sở và phổ thông.
4. Ý nghĩa của Tích Phân (Integral) :
Để hiểu tích phân là gì, trước hết bạn hãy viết một phương trình dưới dạng vi phân.
ví dụ ta có một phương trình đạo hàm dy/dx = L(x)
chúng ta có thể xem (dy/dx) như là một "phân số" và nhân nó lại cho mẫu của phân số đó, ta thu được
dy = L(x) dx
đây chính là cách viết vi phân của một đạo hàm.
bây giờ bạn hãy hình dung rằng bạn đang tăng ga trên xe gắn máy, và bạn muốn biết quãng đường bạn đã di chuyển được.
chúng ta có thể xem xét công thức huyền thoại "S = Ut" nhưng khoang đã,
công thức này cho rằng vận tốc "U" là không đổi, nhưng bạn thì đang tăng ga.
để tính được quãng đường một cách chính xác, công thức là
S = ∫ U(t) dt
với ký hiệu "∫" gọi là tích phân, và quãng đường chính là tích phân thời gian "dt" của vận tốc U(t).
bạn có còn nhớ cách viết vi phân lúc nãy?
ta biết dS(t)/dt = U(t), ta có thể nhân ngược lại cho mẫu là "dt"
sau đó thu được
dS = U(t) dt
bản thân "dS" là quãng đường vô cùng nhỏ mà xe máy di chuyển được, còn gọi là vi phân của quãng đường.
và "S" gọi là tổng quãng đường, bằng tích phân của [U(t) dt], mà chính là tích phân của dS, vậy ta suy ra
∫dS = S
vậy có thể hiểu ∫ U(t) dt như là một tổng vô hạn của
[U(t) dt] , một tổng vô hạn của quãng đường vi phân siêu nhỏ "dS" , và để tính ra tổng quãng đường xe máy đã di chuyển được, ta cần phải cộng hết tất cả "dS" lại với nhau, để cho ra "S".
và trong trường hợp này S = ∫ U(t) dt .
ví dụ bạn tăng ga sao cho gia tốc không đổi, ở t = 0 , U(0) = 0, do đó
xe máy sẽ mang vận tốc là U(t) = at , với "a" là gia tốc của xe, và gia tốc này không đổi.
do đó ta có S(t) = ∫ U(t) dt = ∫ at dt = [1/2 at² + C]
[1/2 at² + C] chính là kết quả của tích phân, mà đây chính là công thức tính quãng đường!
với "C" là hằng số tùy ý, ví dụ "C" có thể là vị trí ban đầu,
S₀ chẳng hạn.
do đó ta có S(t) = [1/2 at² + S₀] , và đây chính là quãng đường “S(t)” xe máy mang gia tốc "a" di chuyển được.
ví dụ tiếp theo là thế năng.
ta biết cách tính thế năng giữa mặt đất và một vật lơ lửng trong không gian là PE = (mg)h = Fh,
với F= mg , còn “PE” là thế năng, “h” là khoảng cách giữa vật và mốc cần tính (mốc có thể là mặt đất), đây chính là một dạng của công thức tính Công (Work), với
(W = Fs) với "W" là công của vật, bằng lực "F" tác dụng lên quãng đường "s".
trên thực tế "Fs" phải là tích vô hướng nhưng với một chiều không gian, có thể xem là tích bình thường cũng được.
tuy nhiên, W = Fs chỉ đúng khi lực tác dụng không thay đổi độ lớn.
nếu lực tác dụng thay đổi độ lớn theo vị trí, thì công thức sẽ phải là
W = ∫ F(s) ds , và đây chính là công thức tổng quát của Công (Work), nó cộng
các công siêu nhỏ dW lại với nhau, vì dW = F(s) ds
ta biết công thức tính lực hấp dẫn là
F(r) = GMm/r² , và ta cũng biết công (Work), cũng tương ứng với năng lượng E, do đó công thức tính thế năng đúng cách là
PE(r) = ∫ F(r) dr = ∫ GMm/r² dr , tích phân lên ta thu được :
[-GMm/r + C] , đây chính là kết quả của tích phân.
trong trường hợp này ta phải giải hằng số C, ta biết thế năng so sánh hai vị trí là r và r₀ , với r₀ là vị trí mốc.
do đó ta có thể suy ra hằng số C là GMm/r₀.
vì thế
PE(r) = [-GMm/r + GMm/r₀]
và đây chính là công thức tính thế năng chính xác.
chú ý là “h” chỉ là khoảng cách giữa hai điểm cao độ trong không gian, mà trường hợp này đã trở thành tọa độ bán kính “r”, do đó
h = Δr trong trường hợp này.
thế còn công thức PE = mgh thì sao, vẫn áp dụng được chứ?
công thức này chỉ hoạt động khi "h" mang giá trị rất nhỏ, tức là cỡ 1000 mét đỗ lại, nếu "h" mang giá trị rất cao, thì công thức
PE = mgh không còn đúng nữa.
nguyên nhân là bởi vì "g" được giả định là hằng số, nhưng nó không thực sự là một hằng số.
ta biết g(r) = GM/r² , bởi vì khối lượng của trái đất "M" rất lớn, nên ta có thể thấy nếu Δr là không đáng kể, ta có thể cho rằng "g(r)" không đổi.
Tuy nhiên với sức mạnh của tích phân, ta đã có thể tính luôn cả sự thay đổi này.
vậy đây chính là các ví dụ vật lý của tích phân và đạo hàm, nếu các bạn cảm thấy thích thú, đừng quên ấn like và share bài viết này để cùng nhau lan truyền (vi tích phân), ngôn ngữ vĩ đại của vũ trụ đến mọi người nhé.
Để áp dụng đạo hàm và tích phân trong vật lý, bạn chỉ cần nhớ hai điều như sau :
1. dy/dx là sự thay đổi vô cùng nhỏ của y chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của x
2. ∫ f(x) dx là tổng vô hạn của [f(x) nhân dx]
Lưu ý, không nên nhầm lẫn tổng vô hạn này với tổng sigma “Σ” với n.
với tổng sigma gọi là “summation”
trong khi tích phân gọi là “integration”
vì tổng sigma là tổng của các biểu thức có giá trị nhất định, còn [f(x) dx] là một giá trị vi phân, có nghĩa chúng không có kích thước cụ thể, mà như là một điểm.
ví dụ “dx” có thể hiểu như là hai điểm cách nhau gần vô cùng, nên có thể xem “dx” như là một điểm duy nhất.
và ta biết một “đường” trong toán học có cấu tạo từ vô hạn số lượng “điểm”, do đó có thể gọi tích phân là tổng vô hạn của vi phân.
với dy = f(x) dx , thì tích phân của [f(x) dx] chính là “y”.
nếu bạn vẫn chưa hình dung ra “dy” nghĩa là gì, hãy hình dung bạn đội một chiếc nón và mang đôi dày dưới chân, sau đó Doremon dùng đèn pin thu nhỏ thu nhỏ bạn lại, không cần biết bạn nhỏ đi bao nhiêu, đôi dày và chiếc nón không bao giờ có thể ở cùng một vị trí, chiếc nón vẫn sẽ ở trên đầu bạn, còn đôi dày vẫn ở dưới chân bạn.
nhưng từ xa, cả hai vật này như ở cùng một chỗ, cả hai điểm có thể tiến lại gần nhau mãi mà không bao giờ chạm vào nhau.
trong tiếng anh đây gọi là “infinitesimal”.
các định nghĩa này không chính xác 100% về mặt toán học nhưng nó cho phép não bộ chúng ta có thể hình dung hoặc mường tượng ra chuyện gì đang xảy ra trong khi giải các vấn đề vật lý, từ đó giúp chúng ta có thể dễ dàng ứng dụng chúng.
Cảm ơn các đọc giả đã dành thời gian!
Tác Giả : Quach Minh Dang
Trước đây học toán ở phổ thông chắc hẳn bạn từng nghĩ cái vi tích phân để làm cái gì thế nhỉ ? Bạn chỉ biết lúc đó cần làm bài tập.
Trong thực tế , Vi tích phân là một trong những công cụ quan trọng nhất của toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
1. Tính diện tích và thể tích hình học: Vi tích phân được sử dụng để tính toán diện tích và thể tích của các hình học phức tạp như hình cầu, hình trụ, hình nón, hình chóp, v.v.
2. Tính toán vật lý: Nhiều bài tập vật lý sử dụng vi tích phân để tính toán các giá trị quan trọng như quãng đường, vận tốc, gia tốc và lực. Ví dụ như việc tính vận tốc của vật rơi tự do theo thời gian hoặc tính quãng đường mà một vật di chuyển trong không gian.
3. Tính toán xác suất: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị xác suất trong các phân phối xác suất khác nhau.
4. Tính toán trong kinh tế: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của các biến trong kinh tế.
5. Tính toán trong máy tính: Vi tích phân được sử dụng để tính toán các giá trị số trong các thuật toán và phần mềm máy tính khác nhau.
6. Các ứng dụng khác: Vi tích phân còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, hóa học, kỹ thuật, vật liệu, v.v. Vi tích phân giúp chúng ta hiểu và giải quyết các vấn đề phức tạp trong các lĩnh vực này.
Đọc hết bài viết thấy vi tích phân có ý nghĩa thế nào với cuộc sống của chúng ta.
Sự vận hành vĩ đại của vũ trụ chỉ giao tiếp với nhân loại thông qua ngôn ngữ của toán học.
một trong những công cụ mạnh mẽ nhất mà con người từng phát minh ra trong toán học, còn được biết đến là (Vi Tích Phân) Calculus, hay Giải Tích cho ngắn gọn.
Trong bài viết này, mình sẽ hướng dẫn cho các bạn cách để áp dụng vi tích phân, nhưng không phải dạy các bạn vi tích phân theo định nghĩa toán học thuần túy, mà sẽ dạy các bạn vi tích phân theo ngôn ngữ trực quan của vật lý và chuyển động.
bạn đừng lo cách hình dung sau đây là không xứng đáng nhé.
bởi vì vi tích phân là ngôn ngữ của chuyển động và được áp dụng trong vật lý rất nhiều, như sự hao hụt khối lượng của tên lửa, độ dài đường bay của một quả bóng tennis, thời gian rơi của một vật thể dưới tác động của trọng lực, hành vi của điện tích dưới tác động của điện trường, hay thậm chí là bức xạ Hawking, đều không thể tính toán được hoặc sẽ gần như không thể tính được một cách dễ dàng, nếu vi tích phân chưa được tìm ra!
Còn trong toán học vi tích phân có thể dùng để tính diện tích của các hình rất phức tạp, ví dụ như hình Elip.
Lịch sử : Vi Tích Phân được sáng tạo độc lập bởi hai nhà khoa học vĩ đại nổi tiếng Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.
sau này vào thế kỷ 18 đến thế kỷ 19, vi tích phân không chỉ dừng lại ở biến số mà đã được phát triển với mục đích phục vụ cho vật lý học, bao gồm vi tích phân vector (vector calculus), vi tích phân tensor (tensor calculus), (hình học vi phân) differential geometry, (topology)
nhưng nguyên lý cơ bản chung của vi tích phân vẫn không thay đổi.
Lưu ý : bài viết này không hướng dẫn cách để tính toán các tích phân và đạo hàm, bởi vì mỗi hàm có một cách tính khác nhau và không có cách tính chung.
Cách tính thì nhà trường sẽ dạy hoặc bạn có thể tìm kiếm các video dạy giải tích trên mạng cũng có rất nhiều.
Hoặc nếu không phải để làm bài tập, các bạn cũng có thể tính chúng bằng cách tìm kiếm các máy tính online trên internet và các website như wolframalpha rất phổ biến.
Mục đích của bài viết này là để mang đến cho các bạn đọc giả ý nghĩa từ khái niệm của vi tích phân, từ đó cho các bạn một cái nhìn sâu sắc về bản chất của chúng, từ đó giúp chúng ta dễ dàng áp dụng chúng vào vật lý, cơ học hoặc hình học.
- Hàm số là công thức :
hàm số f(x) có thể có bất kỳ cách sắp đặt nào, ví dụ như
f(x) = (1-x)² , f(x) = sqrt(x²+1) , f(x) = tanh(x) - tan(x) , tất cả đều không thành vấn đề.
cấu trúc của biểu thức không hề quan trọng,
miễn chúng ta biết rằng trạng thái toán học được xem xét ở đây phụ thuộc vào biến x, là chúng ta có thể cho rằng, đây là những hàm số của x.
Tuy nhiên hãy nghĩ theo ý nghĩa vật lý, khi học vật lý thì chúng ta có công thức đúng không nào?
ví dụ F = ma, E=mc² , S = (S₀+ 1/2 gt²) , V = kQ/r , tất cả những công thức này đều có thể gọi là hàm số.
để cho ví dụ đơn giản hơn, hãy nghĩ về chỉ số BMI, chính là chỉ số cân đối của chiều cao và cân nặng, và công thức tính BMI được quy ước như sau.
BMI = khối lượng/(chiều cao)²
giả sử bây giờ bạn đang ở trong một căn phòng bao gồm 7 người có khối lượng bằng nhau, giả sử tất cả đều là 70 kg, nhưng họ mang chỉ số BMI khác nhau.
như vậy lúc này ta có thể kết luận lý do mà chỉ số BMI của 7 người này không giống nhau, là do phần mẫu của công thức, chính là phần (chiều cao), không giống nhau.
trong trường hợp của 7 người này chúng ta có thể nói BMI là một hàm của chiều cao và có thể gọi là f(chiều cao), hay BMI(chiều cao) luôn.
cũng từ đó chúng ta có thể gọi f(x) là y(x) nếu hàm đó tên là y,
chúng ta không viết ký hiệu "f" của hàm nữa mà thay nó bằng tên của hàm luôn.
ví dụ tiếp theo ta có công thức nổi tiếng của Albert Einstein,
E=mc² .
trong công thức này, chúng ta biết "c" là một hằng số vũ trụ, nó không bao giờ thay đổi, vì vậy ta không cần xem xét sự thay đổi của nó, do đó hàm số là E(m), bởi vì E chỉ phụ thuộc vào khối lượng m, thay đổi khối lượng, và ta thay đổi năng lượng.
chúng ta có thể viết công thức trên ám chỉ tính phụ thuộc vào khối lượng bằng cách viết E(m) = mc²
BMI(chiều cao) = khối lượng/(chiều cao)².
y(x) = 1/2 x²
L(t) = kt/2 và ...
nếu trong trường hợp hàm số có chứa hai biến, ví dụ
f = (x² + y²) , và cả hai biến (x,y) đều được xem xét, ví dụ như cả y và x đều thay đổi, thì hàm số sẽ là hàm hai biến f(x,y).
ví dụ hàm số có thể có ký hiệu "z" , z = (x² + y²) , thì gọi đây là
z(x,y) , nhưng tạm thời mình sẽ không bàn về hàm hai biến.
nếu điều kiện chúng ta đang xét là biến y, và giữ x không đổi, thì hàm số sẽ chỉ còn là f(y) thay vì f(x,y), giống như ví dụ BMI lúc nãy, chúng ta không xét sự thay đổi của khối lượng, mà chỉ xét chiều cao.
vì vậy kết luận ở đây là chúng ta có thể nghĩ hàm số là những công thức chúng ta tiếp xúc hằng ngày, với giá trị đầu ra của nó phụ thuộc vào giá trị của biến đầu vào, do đó mọi công thức vật lý nêu trên đều có thể xem là các hàm số.
2. Ý nghĩa của delta :
hãy tưởng tượng bạn nhìn thấy một chiếc xe hơi đang di chuyển ở vận tốc không đổi là U trên một tuyến đường.
trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng công thức tính quãng đường quen thuộc, S = Ut , với trường hợp này bạn đoán ra chứ?
quảng đường "S" là hàm của thời gian "t", bởi vì vận tốc là không đổi nên chúng ta không cần xem xét đến nó.
Tuy nhiên hãy hình dung bạn muốn đo vận tốc của xe ở hai điểm nào đó trên quãng đường S, ví dụ như S₀ và S₁ thì sao?
bạn hãy hình dung S giống như là tọa độ của đường đi còn S₀ và S₁ là hai điểm trên tọa độ đó cho dễ hình dung nhé.
vận tốc của xe khi nó đi từ ( S₀ sang S₁) trong thời gian (t₀ và t₁) là
U = ( S₁ - S₀)/(t₁-t₀) , viết ngắn gọn với ký hiệu Δ, ta có
U = ΔS/Δt
với ký hiệu "Δ" gọi là delta, tức nó là hai điểm bất kỳ trên tọa độ không trùng với điểm mốc.
ví dụ ( S₁ - S₀) = ΔS , S₀ ≠ O , với "O" là tâm của tọa độ.
điều này có nghĩa là công thức "S = Ut" tính quãng đường di chuyển của xe từ điểm mốc của nó, còn nếu chúng ta muốn xét một đoạn bất kỳ, thì phải là ΔS = UΔt, với ΔS là đoạn đường cần xem xét.
delta "Δ" có nghĩa là sự thay đổi, do đó có thể dịch sang ngôn ngữ như sau :
vận tốc là sự thay đổi của vị trí chia cho sự thay đổi của thời gian.
3. Ý nghĩa của đạo hàm (Derivative) :
bây giờ chúng ta hãy hình dung trường hợp thứ hai, chúng ta có một chiếc xe đang di chuyển, nhưng vận tốc của nó thay đổi liên tục, tức là bác tài có thể đang giảm ga hoặc đang tăng ga,
do đó công thức U = ΔS/Δt không còn áp dụng được nữa, vì công thức này cho rằng vận tốc U là hằng số, tức không phụ thuộc vào biến nào cả.
do đó nếu vận tốc U thay đổi theo thời gian, tức là một hàm của thời gian U(t), thì ΔS/Δt chỉ là vận tốc trung bình, và nếu áp dụng công thức ΔS = U Δt thì giá trị của ΔS sẽ không chính xác, do đó không thể áp dụng công thức S = Ut trong trường hợp này.
tuy nhiên chúng ta có thể làm cho giá trị trung bình của vận tốc chính xác hơn bằng cách rút ngắn khoảng cách giữa hai vị trí, (S₀,S₁) , và hai thời điểm (t₀,t₁) nhỏ xuống về 0.
ví dụ ban đầu (S₁ - S₀) = 50 mét, thì thử giảm xuống thành
(S₁ - S₀) = 12 mét, hoặc là (S₁ - S₀) = 2 mét, hoặc là
(S₁ - S₀) = 0.0000000000001 mét, và làm trò tương tự với thời gian (t₀,t₁).
ngay lúc này đây, sau đó chúng ta chia hai vế cho nhau, chúng ta nhận ra rằng, vận tốc chúng ta tính được vô cùng chính xác, bởi vì trong khoảnh khắc vô cùng nhỏ, chiếc xe di chuyển được một quãng đường vô cùng nhỏ, do đó ngay cả khi xe có gia tốc, không có sự khác biệt lắm trong vận tốc của nó, vì nó được ghi nhận trong một khoảng thời gian vô cùng nhỏ, do đó giá trị ΔS/Δt lần này rất chính xác.
Tuy nhiên, vận tốc đó chỉ có giá trị chính xác trong một thời điểm nhất định, thời điểm, ví dụ chúng ta đo đạc ΔS = 0.0000001 mét, và Δt = 0.000000000001 giây.
vậy chuyện gì xảy ra khi ta để hai điểm (S₀,S₁) tiến sát về 0, nhưng không bao giờ chạm đến 0?
chúng ta có một định nghĩa khác cho nó gọi là "d" gọi là vi phân, khác với "Δ", ký hiệu "dS" gọi là vi phân của S.
và tương tự với thời gian, khi hai thời điểm cách nhau tiến về 0, nhưng không bằng 0, gọi là "dt", vi phân của thời gian.
và vận tốc của xe tại một thời điểm nhất định sẽ là
U(t) = dS/dt , với vi phân của S chia cho vi phân của t, ta gọi toàn bộ cái ký hiệu (dS/dt) là đạo hàm, nói lên vận tốc của xe U(t) tại một thời điểm t nhất định.
mà bởi vì (dS/dt) có thể viết thành tích của phép nhân (d/dt)*S, ta gọi "d/dt" là một toán tử đạo hàm.
còn "dS/dt" là một đạo hàm.
và nếu biến trong toán tử là "t", ta gọi "d/dt" là đạo hàm của "t" , hay còn gọi là đạo hàm thời gian của hàm.
tương tự "dy/dx" ta gọi đây là đạo hàm x của hàm y.
ví dụ nếu đạo hàm cho z ta có toán tử là (d/dz).
Các bạn có để ý vận tốc U đã trở thành "U(t)" không?
điều này là bởi vì "U" phải là hàm của "t"
nhưng thế nào là vận tốc dưới dạng hàm của thời gian?
có ví dụ nào thực tế không?
Có!
hãy nghĩ về một vật rơi dưới tác động của trọng trường, ta biết gia tốc trọng trường là g = 9.8 m/s², xét trên bề mặt trái đất, ta có thể giả định rằng "g" không đổi, và cho rằng nó là một hằng số, thì vận tốc của vật rơi sẽ là v(t) = gt , tức là tức tại thời điểm t = 0, tức là lúc vật được buông ra, vận tốc ban đầu là 0 m/s , sau khi vật được buông, ta có vận tốc tức thời là "gt" , ví dụ tại thời điểm t = 1 giây, vận tốc là 9.8 m/s , tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc là 19.6 m/s, tại thời điểm t = 3 giây, vận tốc là 29.4 m/s.
ta gọi đây là vận tốc tức thời, nghĩa là vận tốc tại một thời điểm nhất định, nếu vận tốc là hàm của thời gian.
Lưu ý rằng trên bề mặt trái đất, gia tốc trọng trường "g" không thay đổi nhiều lắm do đó có thể xem "g" là hằng số.
Tuy nhiên nếu xét theo khía cạnh lớn như ngoài không gian trở lại, thì "g" có thể thay đổi đáng kể.
ví dụ khác là ta có một hàm quãng đường S(t) = (vt + 1/2 gt²) , thì đạo hàm của nó sẽ là
dS(t)/dt = (v + gt), đây chính là vận tốc tại một thời điểm "t" nhất định trong hàm
S(t) = (vt + 1/2 gt²).
mà chính là (v+gt) với v là vận tốc ban đầu, còn “gt” là vận tốc tăng dần theo thời gian do trọng trường.
Ví dụ tiếp theo : Ta có một con lắc lò xo dao động với quãng đường
x(t) = x₀ cos(sqrt((k/m)t)
thì vận tốc của lò xo tại một thời điểm nhất định là
dx(t)/dt = -(kx₀sin(sqrt((kt)/m)))/(2m*sqrt((kt)/m))
ngoài đạo hàm thời gian để tính vận tốc, ta còn có thể đạo hàm cho các biến khác, ví dụ như lực hấp dẫn F(r) giữa hai khối lượng (M,m) là F(r) = GMm/r² ,
thì dF(r)/dr = -(2GMm)/r³ .
tuy "dF(r)/dr" là sự thay đổi cường độ của lực "F(r)" trên một đơn vị không gian "r" nếu vật di chuyển trên tọa độ bán kính r, tức là thứ nguyên sẽ là N/m (Newton trên mét).
đạo hàm này cho biết độ lớn trong sự thay đổi của lực chia cho sự thay đổi của vị trí "r" tại một vị trí "r" nhất định.
với "r" là tọa độ bán kính.
ví dụ nếu một phi thuyền bay ra khỏi trái đất ở vận tốc không đổi, và ta muốn tính tốc độ thay đổi của lực hấp dẫn giữa trái đất và phi thuyền, thì ta có thể tính
dF/dr.
độ lớn của dF/dr cho biết lực hấp dẫn thay đổi nhanh cỡ nào tại vị trí r , tức trị tuyệt đối |dF/dr| tỉ lệ thuận với lực thủy triều.
với |dF/dr| càng cao, thì lực thủy triều càng lớn, nguyên nhân là bởi vì lực hấp dẫn thay đổi rất nhanh tại vị trí đó khi ta thay đổi vị trí.
cũng tương tự khi |dF/dr| càng nhỏ, thì lực thủy triều càng bé, do đó nếu bạn lái một phi thuyền đến hố đen vũ trụ, thì việc biết giá trị của dF/dr chắc chắn là một điều cần thiết đấy!
Bạn có biết? trong định luật 2 Newton, công thức chuẩn để tính lực là ΣF = dp/dt không?
với "p" là động lượng.
ví dụ thực tiễn là ánh sáng, vì không có khối lượng nên công thức ΣF = ma không thể áp dụng được cho ánh sáng, tuy nhiên ánh sáng vẫn mang động lượng "p" do đó lực mà ánh sáng tác dụng lên vật chính là tốc độ truyền động lượng (dp/dt) lên vật đó đấy!
vậy chúng ta có thể hiểu đạo hàm như là sự thay đổi vô cùng nhỏ của một hàm chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của biến trong hàm đó.
ngoài ký hiệu df(x)/dx của Leibniz , còn có ký hiệu khác thuận tiện hơn được đặt ra bởi nhà toán học Lagrange, là
f'(x).
tức có thể gọi vận tốc dS(t)/dt là S'(t), như vậy sẽ gọn hơn rất nhiều.
tuy nhiên đối với các bạn mới làm quen với khái niệm này, nên sử dụng df(x)/dx thay vì f'(x) để có bức tranh ý nghĩa hơn, vì mình thấy df(x)/dx giống ký hiệu delta "Δ" quen thuộc mà chúng ta đã làm quen trong suốt một chặng đường trung học cơ sở và phổ thông.
4. Ý nghĩa của Tích Phân (Integral) :
Để hiểu tích phân là gì, trước hết bạn hãy viết một phương trình dưới dạng vi phân.
ví dụ ta có một phương trình đạo hàm dy/dx = L(x)
chúng ta có thể xem (dy/dx) như là một "phân số" và nhân nó lại cho mẫu của phân số đó, ta thu được
dy = L(x) dx
đây chính là cách viết vi phân của một đạo hàm.
bây giờ bạn hãy hình dung rằng bạn đang tăng ga trên xe gắn máy, và bạn muốn biết quãng đường bạn đã di chuyển được.
chúng ta có thể xem xét công thức huyền thoại "S = Ut" nhưng khoang đã,
công thức này cho rằng vận tốc "U" là không đổi, nhưng bạn thì đang tăng ga.
để tính được quãng đường một cách chính xác, công thức là
S = ∫ U(t) dt
với ký hiệu "∫" gọi là tích phân, và quãng đường chính là tích phân thời gian "dt" của vận tốc U(t).
bạn có còn nhớ cách viết vi phân lúc nãy?
ta biết dS(t)/dt = U(t), ta có thể nhân ngược lại cho mẫu là "dt"
sau đó thu được
dS = U(t) dt
bản thân "dS" là quãng đường vô cùng nhỏ mà xe máy di chuyển được, còn gọi là vi phân của quãng đường.
và "S" gọi là tổng quãng đường, bằng tích phân của [U(t) dt], mà chính là tích phân của dS, vậy ta suy ra
∫dS = S
vậy có thể hiểu ∫ U(t) dt như là một tổng vô hạn của
[U(t) dt] , một tổng vô hạn của quãng đường vi phân siêu nhỏ "dS" , và để tính ra tổng quãng đường xe máy đã di chuyển được, ta cần phải cộng hết tất cả "dS" lại với nhau, để cho ra "S".
và trong trường hợp này S = ∫ U(t) dt .
ví dụ bạn tăng ga sao cho gia tốc không đổi, ở t = 0 , U(0) = 0, do đó
xe máy sẽ mang vận tốc là U(t) = at , với "a" là gia tốc của xe, và gia tốc này không đổi.
do đó ta có S(t) = ∫ U(t) dt = ∫ at dt = [1/2 at² + C]
[1/2 at² + C] chính là kết quả của tích phân, mà đây chính là công thức tính quãng đường!
với "C" là hằng số tùy ý, ví dụ "C" có thể là vị trí ban đầu,
S₀ chẳng hạn.
do đó ta có S(t) = [1/2 at² + S₀] , và đây chính là quãng đường “S(t)” xe máy mang gia tốc "a" di chuyển được.
ví dụ tiếp theo là thế năng.
ta biết cách tính thế năng giữa mặt đất và một vật lơ lửng trong không gian là PE = (mg)h = Fh,
với F= mg , còn “PE” là thế năng, “h” là khoảng cách giữa vật và mốc cần tính (mốc có thể là mặt đất), đây chính là một dạng của công thức tính Công (Work), với
(W = Fs) với "W" là công của vật, bằng lực "F" tác dụng lên quãng đường "s".
trên thực tế "Fs" phải là tích vô hướng nhưng với một chiều không gian, có thể xem là tích bình thường cũng được.
tuy nhiên, W = Fs chỉ đúng khi lực tác dụng không thay đổi độ lớn.
nếu lực tác dụng thay đổi độ lớn theo vị trí, thì công thức sẽ phải là
W = ∫ F(s) ds , và đây chính là công thức tổng quát của Công (Work), nó cộng
các công siêu nhỏ dW lại với nhau, vì dW = F(s) ds
ta biết công thức tính lực hấp dẫn là
F(r) = GMm/r² , và ta cũng biết công (Work), cũng tương ứng với năng lượng E, do đó công thức tính thế năng đúng cách là
PE(r) = ∫ F(r) dr = ∫ GMm/r² dr , tích phân lên ta thu được :
[-GMm/r + C] , đây chính là kết quả của tích phân.
trong trường hợp này ta phải giải hằng số C, ta biết thế năng so sánh hai vị trí là r và r₀ , với r₀ là vị trí mốc.
do đó ta có thể suy ra hằng số C là GMm/r₀.
vì thế
PE(r) = [-GMm/r + GMm/r₀]
và đây chính là công thức tính thế năng chính xác.
chú ý là “h” chỉ là khoảng cách giữa hai điểm cao độ trong không gian, mà trường hợp này đã trở thành tọa độ bán kính “r”, do đó
h = Δr trong trường hợp này.
thế còn công thức PE = mgh thì sao, vẫn áp dụng được chứ?
công thức này chỉ hoạt động khi "h" mang giá trị rất nhỏ, tức là cỡ 1000 mét đỗ lại, nếu "h" mang giá trị rất cao, thì công thức
PE = mgh không còn đúng nữa.
nguyên nhân là bởi vì "g" được giả định là hằng số, nhưng nó không thực sự là một hằng số.
ta biết g(r) = GM/r² , bởi vì khối lượng của trái đất "M" rất lớn, nên ta có thể thấy nếu Δr là không đáng kể, ta có thể cho rằng "g(r)" không đổi.
Tuy nhiên với sức mạnh của tích phân, ta đã có thể tính luôn cả sự thay đổi này.
vậy đây chính là các ví dụ vật lý của tích phân và đạo hàm, nếu các bạn cảm thấy thích thú, đừng quên ấn like và share bài viết này để cùng nhau lan truyền (vi tích phân), ngôn ngữ vĩ đại của vũ trụ đến mọi người nhé.
Để áp dụng đạo hàm và tích phân trong vật lý, bạn chỉ cần nhớ hai điều như sau :
1. dy/dx là sự thay đổi vô cùng nhỏ của y chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của x
2. ∫ f(x) dx là tổng vô hạn của [f(x) nhân dx]
Lưu ý, không nên nhầm lẫn tổng vô hạn này với tổng sigma “Σ” với n.
với tổng sigma gọi là “summation”
trong khi tích phân gọi là “integration”
vì tổng sigma là tổng của các biểu thức có giá trị nhất định, còn [f(x) dx] là một giá trị vi phân, có nghĩa chúng không có kích thước cụ thể, mà như là một điểm.
ví dụ “dx” có thể hiểu như là hai điểm cách nhau gần vô cùng, nên có thể xem “dx” như là một điểm duy nhất.
và ta biết một “đường” trong toán học có cấu tạo từ vô hạn số lượng “điểm”, do đó có thể gọi tích phân là tổng vô hạn của vi phân.
với dy = f(x) dx , thì tích phân của [f(x) dx] chính là “y”.
nếu bạn vẫn chưa hình dung ra “dy” nghĩa là gì, hãy hình dung bạn đội một chiếc nón và mang đôi dày dưới chân, sau đó Doremon dùng đèn pin thu nhỏ thu nhỏ bạn lại, không cần biết bạn nhỏ đi bao nhiêu, đôi dày và chiếc nón không bao giờ có thể ở cùng một vị trí, chiếc nón vẫn sẽ ở trên đầu bạn, còn đôi dày vẫn ở dưới chân bạn.
nhưng từ xa, cả hai vật này như ở cùng một chỗ, cả hai điểm có thể tiến lại gần nhau mãi mà không bao giờ chạm vào nhau.
trong tiếng anh đây gọi là “infinitesimal”.
các định nghĩa này không chính xác 100% về mặt toán học nhưng nó cho phép não bộ chúng ta có thể hình dung hoặc mường tượng ra chuyện gì đang xảy ra trong khi giải các vấn đề vật lý, từ đó giúp chúng ta có thể dễ dàng ứng dụng chúng.
Cảm ơn các đọc giả đã dành thời gian!
Tác Giả : Quach Minh Dang
