Số nguyên tố là một số chỉ chia hết cho một và chính nó, điều này về cơ bản nói rằng nó không có ước số. Điều đó sẽ lấy một nửa số có thể ra khỏi bàn ngay lập tức (evens), cùng với tất cả bội số của ba, bốn, năm, v.v. Có vẻ như điều này sẽ không để lại số sau một thời điểm nhất định, nhưng thực tế chúng ta biết rằng có vô số số nguyên tố - mặc dù chúng trở nên ít thường xuyên hơn khi chúng ta tiếp tục. Trên thực tế, đó là một phần của những gì làm cho các số nguyên tố trở nên thú vị: không chỉ là dòng số được gắn với các số nguyên cho đến vô tận, mà toàn bộ dòng số đó có thể được tạo ra bằng cách sử dụng không có gì ngoài số nguyên tố.
Chẳng hạn, 12 có thể được viết lại thành (2 * 2 * 3) và cả 2 và 3 đều là số nguyên tố. 155 có thể được viết là (5 * 31). Một bằng chứng toán học cực kỳ phức tạp có thể đảm bảo với bạn rằng các tổ hợp số nguyên tố có thể được nhân lên để tạo ra bất kỳ số nào .
Chúng ta biết rằng số nguyên tố rất quan trọng. Làm thế nào mà nhóm đã dành hàng trăm năm ám ảnh về Định lý cuối cùng của Fermat có thể quay lưng lại với một tập hợp các số, theo một nghĩa nào đó, có chứa tất cả các số khác? Theo một nghĩa nào đó, chúng ta có thể định nghĩa các số nguyên tố theo trạng thái này là số cấp cơ bản: số nguyên tố là tổng số các số còn lại khi chúng ta viết lại tất cả các số dưới dạng số nguyên thấp nhất có thể có của chúng - 28 là (2 * 14) , lần lượt là (2 * (2 * 7)). Khi không bao thanh toán thêm có thể được thực hiện, tất cả các số còn lại là số nguyên tố.
Đây là lý do tại sao các số nguyên tố rất phù hợp trong các lĩnh vực nhất định - các số nguyên tố có các thuộc tính rất đặc biệt cho nhân tố. Một trong những tính chất đó là trong khi việc tìm các số nguyên tố lớn hơn tương đối dễ dàng, thì khó có thể đưa các số lớn trở lại các số nguyên tố. Đó là một điều để tìm ra rằng 20 là (2 * 2 * 5), và một điều nữa để tìm ra rằng 2.244.354 là (2 * 3 * 7 * 53,437). Một lần nữa lại tìm thấy các thừa số nguyên tố của một số dài năm mươi chữ số. Mặc dù các nhà toán học giỏi nhất đã giải quyết vấn đề trong hàng trăm năm, nhưng dường như không có cách nào để nhân tố số lượng lớn một cách hiệu quả.
Nguyên mẫu lượng tử nhỏ này có thể là khởi đầu cho sự kết thúc của mã hóa máy tính hiện đại.
Thực tế đó làm cho các số nguyên tố cực kỳ quan trọng đối với truyền thông. Hầu hết mật mã máy tính hiện đại hoạt động bằng cách sử dụng các yếu tố chính của số lượng lớn. Số lượng lớn được sử dụng để mã hóa một tập tin có thể được biết đến và có sẵn công khai, bởi vì mã hóa hoạt động nên chỉ các yếu tố chính của số lượng lớn đó có thể được sử dụng để giải mã lại. Mặc dù việc tìm kiếm các yếu tố đó về mặt kỹ thuật chỉ là vấn đề thời gian, nhưng đó là vấn đề rất nhiều thời gian mà chúng tôi nói rằng nó không thể được thực hiện. Một siêu máy tính hiện đại có thể giải quyết vấn đề nhân tố 256 bit lâu hơn so với thời đại hiện tại của vũ trụ và vẫn không nhận được câu trả lời.
Các số nguyên có tầm quan trọng lớn nhất đối với các nhà lý thuyết số bởi vì chúng là các khối xây dựng của toàn bộ số và quan trọng đối với thế giới vì các tính chất toán học kỳ quặc của chúng làm cho chúng hoàn hảo cho việc sử dụng hiện tại của chúng ta. Có thể các chiến lược toán học mới hoặc phần cứng mới như máy tính lượng tử có thể dẫn đến hệ số nguyên tố nhanh hơn với số lượng lớn, sẽ phá vỡ hiệu quả mã hóa hiện đại.
